pada barisan geometri diketahui U2 +U5 =9 dan Ur + U7 =36.jika rasio barisan tersebut bernilai positif, suku ke-10 adalah?

Kelas : XII (12 SMA)
Materi  Barisan dan Deret
Kata Kunci : barisan, geometri, suku, rasio

Pembahasan :
Barisan geometri adalah suatu barisan dengan rasio (pembanding atau pengali) antara dua suku yang berurutan selalu tetap atau konstan.
Bentuk umum barisan geometri adalah
U₁, U₂, ..., Un.
U₁ = a
U₂ = ar
...
Un = arⁿ⁻¹,
dengan r ≠ 0.
Sehingga berdasarkan definisi di atas berlaku hubungan

[tex]r= \frac{U_n}{U_{n-1}} [/tex]

dengan r = rasio antara dua suku yang berurutan, a = suku pertama, Un = suku ke-n, U(n-1) = suku ke n-1, dan n = banyak suku.

Mari kita lihat soal tersebut.
Jika barisan geometri U₂ + U₅ = 9, U₄ + U₇ = 36, dan rasio barisan tersebut positif, maka nilai suku ke-10 adalah ...
a. 512
b. 256
c. 128
d. 64

Jawab :
U₂ + U₅ = 9
⇔ ar + ar⁴ = 9
⇔ ar x (1 + r³) = 9
⇔ 1 + r³ = [tex] \frac{9}{ar} [/tex] ... (1)

Persamaan (1) kita substitusikan ke persamaan
U₄ + U₇ = 36
⇔ ar³ + ar⁶ = 36
⇔ ar³ x (1 + r³) = 36
⇔ ar³ x [tex] \frac{9}{ar} [/tex] = 36
⇔ r² x 9 = 36
⇔ r² = [tex] \frac{36}{9} [/tex]
⇔ r² = 4
⇔ r = 2 V r = -2

Karena rasio tersebut positif, maka
1 + r³ = [tex] \frac{9}{ar} [/tex]
⇔ 1 + 2³ = [tex] \frac{9}{2a} [/tex]
⇔ 1 + 8 = [tex] \frac{9}{2a} [/tex]
⇔ 9 = [tex] \frac{9}{2a} [/tex]
⇔ 2a = [tex] \frac{9}{9} [/tex]
⇔ 2a = 1
⇔ a = [tex] \frac{1}{2} [/tex]

U₁₀ = ar⁹
⇔ U₁₀ = [tex] \frac{1}{2} [/tex] x 2⁹
⇔ U₁₀ = 2⁻¹ x 2⁹
⇔ U₁₀ = 2⁻¹ ⁺ ⁹
⇔ U₁₀ = 2⁸
⇔ U₁₀ = 256

Jadi, nilai suku ke-10 adalah 256.
Jawaban yang benar : B.

Semangat!